7 December 1998

Uppgiften går i stora drag ut på att framställa vågekvationen i och runt valen. Samt att lösa ekvationen i det tvådimentionella fallet men hjälp av Finita element metoden i MatLab.

Vågutbredning av ljud i vatten uppkommer då mediet formar förtätningar och förtunningar, det vill säga vid tryckvariationer, trycket, p, bör därför vara en parameter i den vågekvation vi kommer fram till. Man kan också tänka sig att mediets densitet, r , påverkar vågens fortplantning, ljudets hastighet är till exempel snabbare i vatten än i luft. Molekylerna i vattnet befinner sig ju närmare varandra och det går därför snabbare att överföra informationen. Även mediets hårdhet eller elasticitet avgör hur vågen utbreder sig, men denna kan uttryckas med hjälp av trycket och densiteten. Hastigheten, v, är ytterligare en parameter. Rörelsen i en fluid kan bestämmas med Eulers ekvationer:

där x=(x,y,z).Dessa ekvationer gäller under antagandet att temperaturen är konstant. Vi antar också att fluiden inte utsätts för turbulens, då skall följande påstående gälla:

.

Man kan se hastigheten som en ändring i potential, f ,

Man kan visa att potentialen och att en störning i potential uppfyller vågekvationen,

där

är fashastigheten. Vi är intresserade av en lösning till vågekvationen som är en harmonisk våg eftersom källan endast genererar en frekvens, w , därför gör vi ansatsen

(3)

Eftersom vi har en källa till vågrörelsen så lägger vi till denna i högerledet i vågekvationen, derivering av (3) och insättning i vågekvationen ger

.

Men observera att källan endast finns inom ett visst område där amplituden på svängningen, G (x), är någon konstant och utanför området har vi ingen källa så vi kan säga att där är G (x)=0. Högerledet blir alltså noll vid integrering eftersom en punkt inte påverkar en integral. Hur vi skall göra för att ljudkällan skall synas blir ett senare problem. Ekvationen ovan blir, med dessa antaganden, Helmholts ekvation

(4),

där . Som vi ser är ekvationen oberoende av tiden, den gäller stationärt tillstånd. Detta inträffar först när första vågfronten har nått randen, dvs efter tiden som bestäms av områdets storlek (sträckan från källan till randen) delat med fashastigheten, c.

.

Vi kan inte lösa denna ekvation exakt utan måste göra en numerisk lösning. För att göra problemet hanterbart betraktar vi vågutbredningen i två dimensioner, dvs x=(x,y) i (1), i ett kvadratiskt område. Vi tänker oss att randen ligger så långt bort att de ljudvågor som når denna är planvågor, detta stämmer bäst runt mitten av varje rand om vi har ett kvadratiskt område och sämre och sämre utåt kanterna eftersom vågorna är cirkulära. Ljudintensiteten beror alltså på radien, i två dimensioner avtar den med en faktor 1/r. Vi tänker oss alltså ett kvadratiskt område, W , där vågen utbreder sig, på randen, dW , vill vi hitta ett villkor. Det enda vi vet om randen är att den inte skall påverka vågens utbredning. Man kan uttrycka det som att en våg som infaller mot randen transmitteras totalt, man kan alltså sätta att den reflekterade vågen är lika med noll. Uttycket för den reflekterade vågen får vi från vågekvationen:

där c är konstant. Den reflekterade vågen kan uttryckas som den ena av parenteserna i högerledet beroende på vi vilken riktning den går. dW består av fyra ränder som leder till fyra olika randvillkor:

och

eller uttryckta i y (x,y):

(5)

(6).

Ekvation (4) multipliceras med en testfunktion, v(x,y), och integreras

(7),

Den vänstra termen kan integreras enligt Greens formel:

Termen till vänster är en ytintegral över randen, dW . I x-led går området, W , från noll till a och i y-led går området från noll till b, se Figur 1 nedan ,

insättning av gränserna ger

-

Derivatorna, dY /dx, och dY /dx, byts ut enligt randvärdena (5) och (6)

-

Insatt i (7) blir uttrycket

-

B(u,v) uppfyller tre av villkoren en skalärprodukt men det sista villkoret för nollvektorn stämmer inte. Vi bortser dock ifrån detta och antar att B(u,v) uppfyller villkoren för en skalärprodukt.

Låt och

sök y (x,y) sådan att B(y , v)=0 för alla v(x,y) definierade I V₀.

Finn U(x,y) definierad i V^h ₀ sådan att

-

(10).

U och v ligger båda i V^h₀ som är ett underrum till V^h, det betyder att de kan skrivas om till linjärkombinationer av basen :

och

.

Insättning i (7) ger

(11)

som enklare kan uttryckas

Ax=0, där parenteserna ovan är A och .

Punktkällan som genererar ljudet representerar ett högerled i ekvationssystemet, högerledet blir mest lik en punktkälla om det endast har ett element, som är en konstant, i mitten:

. Ekvationssystemet blir därför Ax=b.

För att kunna räkna ut integralerna som anger elementen i matrisen måste vi först bestämma en bas. I figur 1 visas hur basen ser ut, den består av sex trianglar varav punkten som sammanfogar dessa har höjden ett och ytterkanterna i sexhörningen är noll. Vi bestämmer först en bas för varje triangel, se tabell 1. Olika kombinationer av dessa kan vi sedan använda för att räkna ut integralerna som bestämmer matrisens element. Vi bestämmer först elementen som motsvarar

(12)

i (11). Integralerna ger endast någon volym om j _{ij j} överlappar varandra, det reducerar integralerna till tre olika fall (exempel inom parentes från figur 1):

1. total överlappning (j ₁²)
2. förflyttning ett steg sidledes (j _{1j 2})
3. förflyttning ett steg vertikalt och ett steg sidledes (j _{1j 12}).

1. Total överlappning



2. Förflyttning sidledes

3. Förflyttning diagonalt

Randvärdesintegralerna i (11) är lätta att beräkna eftersom arean mellan varje nod på randen är lika, utom i hörnen där den är hälften så stor, de blev respektive .

Integralerna kombineras nu samman till en matris enligt (11), se nedan.

Om man antar att valen har ungefär samma densitet som vatten och vet att fett har lägre densitet än vatten, kommer därför hastigheten i fettklumpen att minska i förhållande till resten av valen och man kan betrakta ljudvågen som en krökning inåt i fettklumpen, detta skulle kunna ses som en positiv lins. Då vågen passerat linsen återfår den samma hastighet igen. På detta sättet riktar valen ljudet i en viss riktning.

I det aktuella problemet räknar vi med en frekvens på 3520 Hz, som motsvarar en våglängd på 0,43 m, om vi antar att ljudhastigheten i vatten är 1500 m/s. Om valen skulle ändra frekvensen till 1760 Hz respektive 7040 Hz, skulle våglängden ändras till 0,85 m och 0,21 m. Men med en ljudgeneratorn på 0,01 m i diameter kan valen inte skapa så stora våglängder, den längsta våglängden den kan skapa är 0,02 m (om vi antar att 0,01 m är den maximala radien). Olika frekvenser lämpar sig till olika ändamål, låga frekvenser når till exempel längre eftersom dämpande effekter inte påverkar större våglängder lika mycket.