Uppgift

Uppgiften var att härleda en partiell differentialekvation för vågutbredningen av en solitär våg – en sk soliton i en mekanisk analog till en Josephsonövergång. Modellen var ett gummiband med instuckna knappnålar, upphängt i en böjd linjal. I Figur 1 syns en förstoring av tre närliggande knappnålar.

Figur 1. Förstorad mekanisk modell av soliton, visar tre knappnålar med olika vinkelförhållanden till varandra och till en normal. I en idealisk modell ska skillnaderna i vinklarna, q , och skillnaden i läget, x, vara så liten som möjligt.

Förfarande

Enligt den mekaniska modellen kan vi börja med att ansätta kraften som verkar mellan knappnålarna vid ändring i deras vinklar. Vi har Newtons andra lag, som även kan beskrivas med tröghetsmomentet:

,

där F=kraften, m=massan, a=accelerationen, I=tröghetsmomentet, q =vinkeln från jämnviktläget och t=tiden.

Eftersom (g=gravitationen) och vridmomentet , där k är en vridkoefficient, och gör att vi kan skriva följande ekvation:

.

Multiplikation med i båda leden, där x är läget på knappnålen, gör att vi kan skriva

.

Vi möblerar om lite i ekvationen, så att

,

med tanke på att om är tillräckligt litet, vilket ju är en definition av modellen, kan ersättas med , och om är liten (också enligt modell), kan den ersättas med .

Då har vi fått vad vi sökte, en partiell differentialekvation för vågutbredningen av en solitär våg:

.