En pendel har en pålagd oscillerande kraft i vertikalled. Ställ upp rörelseekvationen för pendeln och variera relevanta parametrar. Kommer vissa val av frekvensen på källan att ge särskilda effekter?

I de fall vi tar upp antar vi att pendelrörelsen sker i två dimensioner och att fästet är friktionsfritt. Snörets längd, l, antas vara konstant och ha försumbar massa. De krafter vi tar upp hänvisas i Figur 1: i det enklaste fallet påverkas pendeln bara av gravitationen, F_t, om till exempel luftmotståndet också tas med i ekvationen kommer dämpningen eller friktionen, F_f, med, och i uppgiften ingår även att beskriva pendelrörelsen om fästet svänger, då en yttre pålagd kraft, F_v, tillkommer. Vi börjar med att beskriva det enklaste fallet och lägger på en kraft i taget i rörelseekvationen, sedan försöker vi hitta olika specialfall då vi varierar parametrarna.

Det enklaste fallet av en pendels rörelse är om endast gravitationen påverkar systemet, denna kraft tillsammans med spännkraften i snöret ger upphov till en resulterande kraft, F_t, se Figur 1. Resultanten till dessa krafter kan skrivas –mg sin q och den skall enligt Newtons andra lag vara lika med ma, om inga andra krafter verkar på pendeln. Accelerationen är i detta fallet en tangentialacceleration, , och det ger oss rörelseekvationen

där är vinkeln som l bildar med jämnviktsläget och g är gravitationen. Skall man göra numeriska beräkningar och vill hitta enklare uttryck för en pendelrörelse kan man approximera detta med hjälp av:s taylorutveckling

(2).

Om q är tillräckligt litet kan detta approximeras vidare till

(3).

Detta är naturligtvis mer användbart vid mer komplicerade uttryck, men vi vill visa ett exempel på hur stor inverkan detta har vid ett enkelt fall. Vi jämför två grafer, vid två olika val av q , för att illustrera skillnaden mellan de båda approximationerna (2) och (3), vi kan tillägga att (2) inte gav några synbara avvikelser från (1) om man plottade dessa. I Figur 2 är och i Figur 3 är .

Eftersom q är mindre i Figur 2 än i Figur 3 så blir avvikelsen mellan de två graferna mindre där.

Vi testade även med andra vinklar och fann att (3) är en bra approximation av (1) om .

Om vi lägger på friktionskraften, F_f, i Figur 1 så får vi följande rörelseekvation

(4),

där är friktionskraften. I Figur 4 visas hur pendelrörelsens acceleration med dämpning kan se ut. I figuren är dämpningen ganska kraftig och vi kan se hela förloppet: från maximal amplitud vid startögonblicket till total utsläckning av vågen efter ungefär t=60 sekunder. Vi kan se att dämpningen orsakar att vågen får ett exponentiellt avtagande.

För att få ytterligare en ekvation i systemet lägger vi på en oscillerande vertikal svängning i fästet. I detta fallet får vi ytterligare en kraft, F_v, som påverkar systemet så vi har alla krafter som visas i Figur 1. Vi kan skriva den pålagda kraften som och då blir rörelseekvationen

(5).

Detta innebär att vi har två oscillerande svängningar som växelverkar, alltså har vi två kopplade oscillatorer. Hur systemets olika faser ser ut och hur de samverkar visas i Figur 5. Vi ser att pendelrörelsen dominerar helt i början, men efter ungefär 20 sekunder börjar den vertikala svängningens kraft att synas på pendelrörelsen (då dämpningen verkat för att dra ner amplituden tills de är i samma storleksordning), mellan 20-45 sekunder växelverkar svängningarna så att man tydligt kan se det och efter 50 sekunder är amplituden orsakad av F_t så liten att den pålagda vertikala svängningen dominerar. Notera även hur frekvensen ändras.

Om vi inte har någon dämpning kommer svängningarna att interferera med varandra så att vi får en resulterande svängning, vars periodicitet kan vara svår att se. I Figur 6 har vi plottat pendelrörelsens acceleration där vi valt frekvensen och övriga parametrar så att vi ser en puls av den resulterande amplituden. En puls fås om de två frekvenserna är olika men har väldigt lika värden. Amplituderna är lika. Om frekvenserna är identiska och ligger i fas, får vi en mycket stor amplitud, sk konstruktiv interferens. Om svängningarna med samma frekvens ligger i motfas får vi amplituden 0, sk destruktiv interferens. I specialfallet i figur 6 då frekvenserna är olika har de också olika perioder. Då amplituden är max ligger de exakt i fas, sedan glider de ur fas och då amplituden är 0 ligger de i motfas. Amplituden ökar sedan igen då fasskillnaden åter minskar.

I Figur 7 visar vi hur pulserna dämpas ut då friktionen läggs på. Vi har även ändrat amplituden så att de inte längre är lika, det medför att amplituden inte kan bli noll även om svängningarna ligger i motfas. Detta åskådliggörs bäst om vi visar över en längre tid, annars kan det vara svårt att se att pulsen amplitud inte blir noll. Efter ungefär 1000 sekunder har den dämpande kraften tagit ut pendelrörelsen och vi har bara kvar rörelsen i fästet.

I en sista plot vill vi visa hur det vanligtvis ser ut då man plottar accelerationen m a p tiden, det är ett allmänt fall och plotten är inte lika lätt att få ut någonting av, eller att förklara. Det är i specialfallen som kurvorna blir lättare att tyda. I Figur 8 har vi i ändrat frekvensen och amplitudvariationen ser mycket mer komplicerad ut än tidigare, men det finns i alla fall en periodicitet, om man som i figuren visar förloppet under en längre tid.

Vi uppskattade felet på samma sätt som i inlämningsuppgift 1. När vi hade en plot vi var nöjda med (dvs vi hade ett fixt h), subtraherade vi denna plot med en plot som var identisk förutom att den hade halva den fixa steglängden, felet gick knappt att uppskatta och för vårt resonemang var felet därför godtagbart. Eftersom vi inte räknar ut något direkt utan bara studerar olika fall av pendelrörelsen tycker vi inte att en större feluppskattning behöver göras.

För att köra våra ekvationer i MATLAB har vi använt oss av den ode-lösare vi tidigare skapade, "ode.m". Vi har också använt oss av en fil innehållande våra funktioner som körs i odelösaren, "f.m". Slutligen har vi en fil för att starta beräkningarna, "start.m".

function [y,t]=ode(r,t0,t1,h,y0,varargin)

for n=1:N-1

function yb=f(t,y,g,l,q,A,omega,m)

yb(2)=y(1);

[yres,t]=ode('f',0,900,0.1,[pi/10 0],9.82,9.82,0.05,0.2,pi/10,0.5);

plot(t,yres(:,1),'r');

xlabel('Tid [s]');

ylabel('Acceleration [rad*s^-2]');