- - Kosmoskaos - - Väderkaos - - Kvantkaos - - Havskaos - - Multikaos - - Sandkaos - - Gödelkaos - - Livskaos - - Mandelkaos - - Bildkaos - - Beslutskaos - - Kaoskaos - - Kapitalkaos - - Kaosplock - -

Gödels teorem

Allt här i världen kan inte katalogiseras

Det finns sanningar som inte går att bevisa. Så lyder århundradets mest märkvärdiga matematiska teorem, bevisat för nära 70 år sen av en purung hypokondrisk tjeck som hette Kurt Gödel.

Gödels teorem är tveklöst en av milstolparna i mänsklighetens intellektuella historia, ett genombrott i klass med relativitetsteorin och kvantmekaniken. Ändå har mycket få människor ens hört talas om teoremet, och de som gjort det har vanligen föreställningen att det är något högst esoteriskt och obegripligt, som inte angår för vanligt folk. På sätt och vis är det riktigt. Teoremet om sanningar som inte går att bevisa är förvisso rätt besynnerligt, fast inte mer än relativitetsteorin eller kvantfysiken...

Frågan om vad matematiska sanningar egentligen är har säkert följt människan ända sen hon fick sin stora hjärna att fundera med. Att två plus två alltid blir fyra uppfattar vi som en självklarhet, ett faktum utan undantag. Det är omöjligt att tänka sig att två plus två skulle bli fem någon gång i framtiden, eller på en annan planet. Men om det nu är en så elementär sanning borde det vara lätt att bevisa. Hur?

Redan antikens greker insåg att man inte kan bevisa något från ingenting. Det behövs en startplatta. Grekerna själva visade hur det kan gå till. Man behöver ett antal enkla, "självklara" sanningar, axiom, att utgå ifrån. Men har man bara en lämplig uppsättning axiom kan man sen härleda ett stort antal andra sanningar ur dem.

Euklides hette mannen som gjorde det för geometrin, i ett avancerat projekt som blivit något av en förebild för den västerländska rationalismen. Många har närt drömmen att kunna axiomatisera väsentliga delar av vetenskapen, och därmed ge dess sanningar samma självklarhet som matematikens. Det var den förhoppningen Kurt Gödel satte stopp för med sitt märkliga bevis 1930.

Gödels teorem handlar om aritmetiken, alltså läran om de positiva heltalen 0,1,2,3,4..., försedda med addition och multiplikation. Matematikerna har åstadkommit flera gedigna axiomsystem för aritmetiken. Det mest kända och ambitiösa skapades av Bertrand Russel för snart hundra år sen. Med ett sådant axiomsystem kan man alltså bevisa sanningar, som att två plus två är fyra, utifrån ännu enklare sanningar.

Gödels teorem säger att sådana axiomatiseringar av aritmetiken aldrig kan bli fullständiga. Det finns alltid sanningar kvar som inte går att bevisa inom systemet. Man kan se att de är sanningar, precis som man kan se att två plus två är fyra. Men man kan inte fånga dem med några slutledningar ur axiomen, vilka axiom man än väljer.

Gödel själv var en blek, mager och tungsint 24-åring, född i staden Brno i Tjeckien, utbildad i Wien. Hans teorem kom fullständigt överraskande för samtiden och hans bevis var ohyggligt svårgenomträngligt. Men nyheten väckte stor uppståndelse i den lilla skaran experter. Och matematikens historia var trots allt full av bleksiktiga unga genier som slagit världen med häpnad.

Till en början uppfattades teoremet som ett negativt resultat: matematiken hade kört huvudet i väggen, axiomatikens metoder var inte framkomliga. Numera är nog synen den motsatta. Gödel visade att tillvaron är mer komplicerad än vi gått omkring och trott - och därmed intressantare.

Men det var något obehagligt med beviset. Vad Gödel hade gjort för att visa att det fanns sanningar som föll utanför axiomsystemen var att konstruera ett sant påstående som inte gick att bevisa. Det löd, översatt i icke-matematiskt språk, så här:

"Detta påstående går inte att bevisa".

Påståendet syftade alltså på sig själv. Det gick inte att bevisa, eftersom det var det det sa, och därmed var det uppenbart sant. Men var det inte bara en paradox? Det var åtminstone mycket likt det som kallas Epimenides paradox. Epimenides kom från Kreta, och var känd för att ha fällt yttrandet "kreterna ljuger alltid". Var det sant eller ljög han? Var det sant ljög han ju, och då var det inte sant!

(Epimenides nämns av ingen mindre än aposteln Paulus i Bibeln, men han hade inte fattat poängen, utan tog det som ännu ett bevis på att folk från Kreta verkligen inte var att lita på - de påstod det till och med själva!)

Gödel hade, med sitt ohyggligt komplicerade bevis, lyckats baxa in Epimenides paradox i ett axiomsystem för aritmetik, i form av en sats som påstod om sig själv att den inte kunde bevisas. Det var, kunde samtidens matematiker konstatera, helt korrekt genomfört. Teoremet höll vad det lovade. Men ändå kändes det som ett trolleritrick, ett elegant lurendrejeri. Var det hela kanske bara en kuriositet? Hade Gödels teorem någon verklig relevans för matematiken?

Numera svarar nog alla ja på den frågan. Gödels teorem var bara början, har det visat sig. En hel rad liknande resultat har följt i dess spår, och det är knappast längre någon tvekan om att det berör matematiken i dess hjärterot. En intensiv och ibland ganska bisarr filosofisk debatt har flammat upp kring teoremets verkliga innebörd. Dess sätt att sätta en gräns för det bevisbara har väckt ett visst intresse i vidare kretsar än matematikens.

Gödel själv var en lätt paradoxal figur. På sätt och vis framstår han som det typiska geniet, helt absorberad i matematikens abstrakta rymder, men nästan oduglig i vardagens praktiska bestyr. Men någon gång under sina mest kreativa år gick Kurt Gödel och förälskade sig i en vacker nattklubbsdansös som hette Adele Nimbursky - och lyckades gifta sig med henne. Inte mycket är känt om deras liv tillsammans. Utåt var det ett normalt äktenskap, med en stark och duglig kvinna som tog hand om ett lätt förvirrat geni med en benägenhet för depressioner. Fick Adele någonsin någon inblick i aritmetikens intrikata labyrinter?

Detta var det egentliga innehållet Gödels teorem - att aritmetiken är mer intrikat än någon trott. Här kommer en modern formulering:

Antag att ni har en mängd bestående av positiva heltal. Det kan vara mängden av alla jämna tal, eller mängden av alla tal som är delbara med tre eller vad ni vill. Mängden ska gå att generera med hjälp av en formel, ett datorprogram eller en liknande mekanisk metod, som vevar fram talen i mängden, ett i taget. Om mängden består av alla jämna tal är det enkelt: man börjar med noll, adderar två, adderar två, adderar två och så vidare. För varje varv med veven kommer ett nytt tal i mängden. Mängden kan mycket väl vara oändligt stor, och då tar vevandet aldrig slut.

Nu kommer den intressanta frågan: Går det att hitta någon formel, ett datorprogram eller en liknande mekanisk metod som istället kan veva fram alla de tal som INTE finns i mängden? Gödels teorem, i dess allra mest generella gestalt, svarar: Nej, inte alltid!

I många fall går det naturligtvis att peka ut de tal som inte ingår i mängden. Om mängden består av de jämna talen, är de tal som inte ingår de udda talen, som förstås är lika lätta att veva fram. Men Gödels teorem säger alltså att det finns mängder som är sådana att man inte kan ange vilka tal som inte ingår i dem!

Med andra ord: Redan i en så enkel och rationell del av världen som aritmetiken finns det objekt som är så komplicerade att de inte går att katalogisera.

Tyvärr är det lite svårt att visualisera en mängd som inte kan katalogiseras. Man får försöka tänka sig att talen man försöker veva fram kommer i en så totalt överraskande oordning att katalogen ständigt misslyckas att hänga med i svängarna.

(Det finns en helt annan bild att ta till. Mandelbrotmängden består visserligen inte av heltal, men den råkar ha just den här egenskapen - det går inte att systematiskt ange vilka tal som ingår i mängden.)

I vilket fall finns det tal som vi vet inte ingår i mängden, fast vi inte kan bevisa det: Det finns sanningar vi inte kommer åt... På så vis hör den ursprungliga formuleringen av Gödels teorem samman med den mera generella.

I början av världskriget flyttade Kurt och Adele Gödel till det då nystartade Institute for Advanced Study i Princeton, där de stannade livet ut. Gödel och Einstein blev bästa vänner, ofta sedda på långa promenader längs Princetons fridfulla gator. De var ett udda par, den spjuveraktige Einstein och den magre och världsfrånvände Gödel. Bägge hade skakat om grundvalarna i vår syn på tillvaron, om än på helt olika plan. Och bägge hade gjort det under en intensiv period av ungdomlig kreativitet. Under åren i Princeton var de föga produktiva.

Men hur hade Gödel lyckats baxa in Epimenides paradox i aritmetiken? Metoden var förbluffande och absolut originell. Gödel hade funnit på ett sätt att katalogisera samtliga möjliga påståenden inom aritmetiken. Varje formel, bevis, teorem eller vad som helst som figurerade inom ett axiomatiskt system för aritmetiken fick ett nummer, ett Gödeltal. Numren var stora och otympliga, men det spelade mindre roll. Det viktiga var att precis allt motsvarades av ett visst tal.

Och nu uppstod en fantastisk och hisnande dubbelexponering, som i en spegelsal. Axiomsystemet handlade ju om tal, alla påståenden, teorem och bevis handlade om tal. Men samtidigt motsvarades de själva av tal i Gödels katalog. Därmed kunde de också uttrycka saker om sig själva: tal som talade om tal! Det fanns till och med ett nummer för påståendet att ett påstående med ett visst nummer inte gick att bevisa, och om man satte in det numret i det påståendet kunde Epimenides urgamla paradox plötsligt, som en larv i en konstfull puppa, förvandlas till en högst välformad matematisk sats. Den gick inte att bevisa men var sann ändå. Den sa det själv om sig själv...

Det lönar sig att minnas att den bleke, ängslige Kurt Gödel var vuxen ur samma värld som Franz Kafka, det labyrintartade Habsburgska rike som var en så osannolik blandning av kreativt drivhus och sanatorium för neurotiker. Det var den rätta miljön för teoremet som satte en gräns för rationalitetens drömmar om att allt går att katalogisera.

Om man vill kan man formulera Gödels variant av Epimenides paradox så här, bara för att ge en smak av dess ekvilibristiska balansakt i matematikens entrévåning: "Det påstående som uppstår när man sätter in "Det påstående som uppstår när man sätter in x i 'x' i stället för x kan inte bevisas" i stället för ''x'' i "Det påstående som uppstår när man sätter in x i 'x' stället för x kan inte bevisas" kan inte bevisas."

Han svalt ihjäl. Adele hade lagts in på sjukhus för en operation, och Kurt Gödel slutade äta. Det var 1977, han var 71 år gammal, och hade egentligen inte producerat något minnesvärt inom matematiken sen sin ungdom. Einstein var död sen länge. Gödel var en sorgmodig spökfigur, som ofta föll offer för djupa depressioner, och när Adele inte fanns vid hans sida förmådde han inte leva längre. Han dog, sittande i en stol, den 14 januari 1978, den hypokondriske lille mannen som bevisat att det finns sanningar som inte kan bevisas.

ŠLars Rosenberg