Låt er inte avskräckas av att det här handlar om matematik. Själva finessen med det vi ska göra är att det är så förbaskat enkelt, trots att resultatet är högst omskakande. När vi är klara vet ni, till exempel, varför ingen lyckas förutsäga vädret en vecka framåt.

Börja med att välja ett tal, vilket som helst, som är större än 0 men mindre än 1. Kalla talet för x. Utför sen följande lilla operation på fickräknaren: x*(1-x) Alltså: Multiplicera talet med ett minus samma tal. Ni får då ett nytt tal som är större än 0 men mindre än 1. Sätt in det talet i samma formel, som ett nytt värde på x. Ni får ett nytt tal; sätt in det i formeln igen, och så vidare, så länge ni orkar. Om ni till exempel väljer x=0,7 får ni i tur och ordning följande tal: 0.21, 0.1659, 0.1384, 0.1192 och så vidare. De tal ni räknar fram med den lilla formeln blir hela tiden mindre och mindre. Vi har fått en talserie som sakta men säkert närmar sig noll.

Vi ska nu göra en sak till. Välj ytterligare ett tal, vilket som helst, och kalla det a. Använd följande formel: a*x*(1-x) Räkna på samma sätt som nyss, med den enda skillnaden att resultatet av varje beräkning nu också multipliceras med a. Talet a är en konstant, som inte ska ändras under beräkningens gång. Starta bara med ett godtyckligt x, sätt in resultatet i samma formel om och om igen. Skriv ned resultatet efter varje beräkning, så att ni kan titta på den talserie som uppstår.

Här är ett exempel. Välj x=0.7 och a=2.5. Vi får en talserie som ser ut så här: 0.525, 0.6234, 0.5869, 0.6061, 0.5969, 0.6016 och så vidare. Som ni ser närmar sig talserien långsamt men säkert gränsvärdet 0.6000.

Nu börjar det roliga. Talet a betyder kaos. Genom att välja olika värden på a kan man skapa de mest besynnerliga sifferserier. Vi ska ta det etappvis, med växande a, så ni ser precis vad som händer. Något inträffar när a blir större än 3. Så här ser talserien ut med x=0.7 och a=3.2: 0.672, 0.703312, 0.6650851, 0.7127901, 0.6551052, 0.7230156, 0.6408449, 0.7365207, 0.6209855, 0.75316, 0.594912, 0.7711735, 0.5646878, 0.7866096, 0.5371358, 0.795587, 0.5204106, 0.7986669, 0.5145539, 0.7993222 och så vidare.

Vad har hänt? Uppenbarligen har vår talserie förgrenat sig i två, som är på väg mot var sitt gränsvärde. Fortsätter man tillräckligt länge kommer miniräknaren att helt enkelt hoppa mellan 0.7994555 och 0.5130445, i all evighet.

Nu fortsätter vi till a=3.5. När vi räknat en stund får vi en talserie som ser ut så här: 0.8269406, 0.5008845, 0.8749973, 0.3828196, 0.8269406, 0.5008845, 0.8749973, 0.3828196 och så vidare. Talserien hopar nu mellan fyra grenar, var och en med sin gräns.

Redan vid a=3.56 händer det igen. Talserien har nu delat upp sig i åtta grenar. Och så fortsätter det. Talserien får allt fler grenar, 16, 32, 64 och så vidare. Och det sker snabbt och dramatiskt. Bara små höjningar av a resulterar i nya fördubblingar av antalet grenar. Vi är på väg mot en kollaps. Den kommer när a=3.569945... Antalet grenar i talserien blir oändligt! Det finns inte längre några gränsvärden i sikte. Siffrorna i vår serie bara hoppar omkring, utan någon synlig ordning alls. Vi har nått kaos.

Så här ser det ut vid a=4: 0.84, 0.5376, 0.994345, 0.0224921, 0.0879448, 0.320842, 0.8716096, 0.4476252, 0.9890275, 0.0434084, 0.1660964, 0.5540335, 0.9883215, 0.0461685, 0.1761479 och så vidare. Talserien verkar irra omkring fullkomligt slumpmässigt. Men det är inte ren slump heller. Om ni håller på tillräckligt länge märker ni att vissa talslingor dyker upp som ni känner igen. Ni kommer då att kunna gissa ungefär var siffrorna hamnar fem-sex steg framåt. Men sen vandrar serien iväg åt ett nytt håll igen, och blir oförutsägbar. Matematikerna kallar en sådan här talserie kaotisk. Poängen är inte bara att siffrorna kommer huller om buller, utan att den oregelbundna talserien har uppstått helt systematiskt, ur en enkel liten formel. Börjar man om från början får man exakt samma oförutsägbara talserie en gång till. Det är vad som skiljer kaos från den rena slumpen. Slump är bara oordning. Kaos är oordning som skapats ur ordning, på ett systematiskt sätt. Det hela kan låta lite paradoxalt, men miniräknaren ljuger inte.

Nu är kaos inte bara ett matematiskt fenomen. Det händer i verkligheten också. Det mest berömda exemplet upptäcktes av den amerikanske meteorologen Edvard Lorenz i början av sextio-talet.

Edvard Lorenz hade konstruerat några formler som var lite mer komplicerade än den ni just lärt er, men inte så mycket. De hade lite med atmosfärens rörelser att göra, men var enormt mycket enklare än dem meteorologerna använder när de försöker förutsäga vädret. Lorenz upptäckte att hans formler, inmatade i en dator, gav obegripliga resultat. Ut kom sifferserier som såg nästan slumpartade ut. Det gick att gissa ungefär var de skulle hamna fem-sex steg framåt, men sen blev de helt oförutsägbara.

Lorenz upptäckt sände rejäla chockvågor genom meteorologin. Alla hade trott att vädret är svårt att förutspå därför att det är så komplicerat. Nu visade det sig att orsaken är mycket mer fundamental än så. Även Lorenz extremt förenklade väderformler gav oförutsägbara resultat. Vädret är kaotiskt, och vinden blåser vart den vill, av rent matematiska skäl.

Sen dess har folk upptäckt kaos i all tänkbara hörn av tillvaron. Kaosteorin har trängt in i de flesta vetenskaper, och lärt oss att vi lever i en värld som är betydligt mer svårbemästrad än vi trodde.

Till er som orkat läsa såhär långt ska jag ge två tips. Om ni verkligen är intresserade av att se kaos växa fram ur en enkel liten formel kan ni skaffa en miniräknare av lite finare sort. För några hundralappar får man numera modeller som lätt kan programmeras för sådana här beräkningar. Sen kan ni producera talserier genom att bara sitta och trycka på en enda tangent.

Men ni som bara vill lata er kan ändå uppleva kaos, i den verkliga lågbudgetvarianten: en droppande vattenkran.

Ni vet hur det brukar låta, ett rytmiskt tap, tap, tap... Vrider ni försiktigt upp kranen bara lite grand, kan ni få höra tip-tap, tip-tap... Ännu en försiktig vridning, och det blir tip-top-tjopp-tapp, tipp-topp-tjopp-tap... Ni ser vad som händer. Det rytmiska droppandet förgrenar sig, grenarnas antal fördubblas, och fördubblas igen. Sen försvinner all rytmiska mönster. Kranen droppar helt oregelbundet och oförutsägbart. Vi har nått kaos.

ŠLars Rosenberg

(Ur Hallands Nyheter december 1993)

- - Kosmoskaos - - Väderkaos - - Kvantkaos - - Havskaos - - Multikaos - - Sandkaos - - Gödelkaos - - Livskaos - - Mandelkaos - - Bildkaos - - Beslutskaos - - Kaoskaos - - Kapitalkaos - - Kaosplock - -

START