Den svängande balken
Det egentliga syfte med denna rapport är att ge läsaren en inblick i den svängande balken och hur den fungerar. Vi kommer att undersöka vilka variabler det är som inverkar och varför de inverkar. Det gör vi främst genom att studera resultat från olika mätningar. Men också genom analyser av olika slag. Genom mätningar och analys kommer man fram till att periodtiden för en svängande balk kan fås ur uttrycket:
Där C är en dimensionslös konstant med värdet 3,2 ± 0,3. Vi visar hur man tar fram konstanten C och hur man förbättrar mätnogrannheten.
1.2.1 Analys av den svängande
balken
1.2.4 Felanalys och diskussion
1.3 Periodtiden med en extra massa
m
Svängande
balk
1.1
Beskrivning av problemet
Vi har en balk som sitter fast i ena änden (se fig.1). Vid
den fria änden sitter en frekvensräknare som håller reda på frekvensen. Om vi
trycker ner balken och släpper den, kommer den att svänga fritt med sin
egenfrekvens som bestäms av olika ingående variabler. Vår uppgift är att ta
fram ett uttryck för periodtiden T
. Till hjälp har vi måttband, skjutmått, ett flertal balkar av olika
material, tjocklek och bredd samt
tabellverk (Physics Handbook for
Science and Engineering av Carl Nordling och Jonny Österman).
1.2 Kort
om rapporten
Tabeller med resultat från mätningar är infogade i texten.
På vissa ställen hänvisar jag till grafer och figurer som finns som en bilaga i
början av rapporten. Rapporten har som syfte att studera ett fysiskt problem,
att analysera och att komma fram till ett uttryck som stämmer överens med
uppmätta.
1.2.1
Analys av den svängande balken
Vilka variabler kan tänkas ha en inverkan på periodtiden
? Tänk dig att du studerar materialet intill
balkfästet på närmare håll. När vi
pressar ner balken kommer det övertsa lagret av
balken att töjas ut. Samtidigt ser man att det kommer ske en sammanpressning av
det understa lagret. Och när vi presssar ihop något
så vill genast detta
något återgå till sitt
ursprungsläge. Detta förklarar varför
balken svänger upp och ner. (Det kommer omväxlingsvis
att ske både töjning och sammanpressning tills krafterna avtar helt och balken
har återgått till sitt ursprungsläge.) Av denna anledning finner man att
elasticitetsmodulen E
som är en storhet som anger hur “styvt” materialet är, att ha en
inverkan. Nu när vi kommit fram till varför balken svänger upp och ner känns
det lättare att förstå varför längden har en betydelse. Det beror helt enkelt på att den omväxlingsvisa töjningen och pressningen har svårare att “pressa”balken
både upp och ner.Vilket bidrar till att frekvensen
kommer att bli lägre. Och om frekvensen blir lägre så kommer periodtiden T enligt
T = ( 1/f ) att bli större. Med liknande resonomang
förklarar man varför tjokleken h också kommer att ha
en inverkan. Vi har kommit fram till att elasticitetsmodulen E, tjockleken h och längden l har
någon inverkan . Nu gör vi en ren gissning att gravitationen g och bredden b också
har någon inverkan. Vi kan sedan elimenera de
variabler som inte har någon inverkan med hjälp av mätningar .
1.2.2
Mätningar och resultat
Ingående har vi fått fram att frekvensen f hos en svängande
balk beror av E, l, h, b och g. Dvs. att f(E, l, h, b,
g) eller att periodtiden T(1/f) = 1/f(E, l, h, b, g).
Nu försöker vi elimenera variabler som inte har någon
inverkan genom att göra mätningar och
analysera resultaten.
Vi börjar med att bevisa att om vi varierar längden så
kommer frekvensen att ändras. Både bredden b = 20 mm och tjockleken h = 5 mm är konstanta i dessa tre
försök. Materialet är mässing.
1)
Visar att längden har inverkan
Här ser vi klart och tydligt att om vi ändrar längden (och håller de andra variablerna konstanta) så kommer frekvensen att ändras. Så det verkart inte vara något tvivel om att längden inverkar .
Vi byter nu ut balken mot en annan av samma material, tjocklek men bredden har nu ökat från 20 mm till 40 mm.
2)
jmf. med 1) Bredden har ingen inverkan
Om vi jämför dessa resultat med de föregående ser vi att bredden inte har någon inverkan. Därför elimenerar vi bredden b och får att frekvensen f hos en svängande balk är f (E, l, f, g) eller att periodtiden är : T(1/f) = 1/f(E, l, f, g).
Vi gör två nya mätningar för att påvisa att tjockleken h,
har någon betydelse. Man kan eventuellt göra flera mätningar men två räcker för
att bevisa att tjockleken har en inverkan.Vi
använder oss av samma material som tidigare. Längden l = 0,55m och är konstant i båda mätningarna.
3)
Visar att tjockleken har inverkan
Den sista variabeln vi har att undersöka är gravitationen g. Här tar vi till ett knep. Vanligtvis så låter vi balken svänga upp och ner i en lodrät bana. Men här gör vi så att vi vrider på balken 90˚ (se. fig 2) så att den svänger i en horisontell bana. På så vis kan vi konstatera om gravitationen har någon inverkan eller inte. Materialet är fortfarande det samma som tidigare. Tjockleken h = 3 mm och längden l = 0,55 m. Se fig.
4)
Utan vridning 5) Med
vridning
Vilket visar att gravitationen inte har någon inverkan. Slutligen har vi fått fram att frekvensen f beror av f(E, l, f) Þ T(1/f) = 1/f(E, l, f). Nu när vi kommit fram till vilka variabler som inverkar måste vi försöka komma fram till uttryck för periodtiden T hos den svängande balken. Detta gör vi genom att göra flera mätningar samt dimesionsanalys.
1.2.3 Uttryck för periodtiden
Vi börjar med ett par logiska resonemang. Tidigare har vi
sett att om längden l ökar så ökar periodtiden T samt
att om tjockleken h ökar så minskar T. Vi finner också att om
elasticitetsmodulen E ökar så minskar periodtiden
(ty, ju “styvare” materialet är desto svårare är det att sätta balken i
svängning). Vi framställer ett uttryck med hjälp av dessa resonemang:
Vi gör en dimensionsanalys av detta uttryck:
T = sekunder (s) C = Dimensionslös (i detta fall)
l = meter (m) E = (N/m2) = (kg/ms2)
Vi ser nu att det saknas bl.a. enheten kg för att resultatet av de olika variablerna ska bli s (sekunder). Vi försöker med att sätta in densiteten r:
Vi gör ytterligare en dimensionsanalys och får:
Vi studerar exponenterna:
y-3v-u+x = 0
x = v =0,5 Þ
y-u-1,5+0,5 = 0 Û y = 1+u
För att ta reda på exponenten y måste vi göra flera mätningar. Vi gör så att vi mäter frekvensen med konstanta värden på alla variabler förutom l. Materialet är fortfarande mässing, tjockleken h = 5 mm
6)
Mätningar med alla variabler konstanta förutom l
För graf se graf.1
Grafen är inte rät. Alltså y¹ 1. Vi logaritmer ar T(s) och l(m) och ritar upp en ny graf. Se graf.2
Den här grafen är rät. Vi har sambandet lgT = ylgl + lg C1 (jmf. y = kx + m). Linjen skär y-axeln i lg C1 = -0,74. Ur Grafen får vi att riktningskoefficienten y är » 2. Detta ger att:
Y = u+1 = 2 Û u = 1 (se. ovan)
Vi har nu kommit fram till uttrycket:
Det enda som återstår att bestämma är konstanten C. Vi löser ut C ur uttrycket ovan:
Vi gör nya mätningar och beräknar C från vart och ett av
dessa värden. Materialet är fortfarande mässing som har en densitet r (p i
uttrycket) = 8,4*103 kg/m3 och
en elasticitetsmodul E = 10,5*1010 Pa =N/m2 = kg/ms2.
Tjockleken h = 5 mm =5,0*10-3.
7)
Visar konstanten C för olika värden på l och T
Vi beräknar ett medelvärde <C> ur tabellen ovan:
<C> = (3,31+3,53+3,44+3,25+3,04+3,06+3,18)/7 = 3,26
\
1.2.4
Felanalys och diskussion
Vi har kommit fram till ett uttryck för periodtiden
T hos en svängande balk. Konstanten C beräknade vi ut med hjälp mätningar. Men
som alltid när man mäter något så uppkommer det mätfel
och dessa måste analyseras:
Vi gör en uppfattning om hur stora dessa fel är och beräknar sedan den största och sedan den minsta avvikelse konstanten C har:
Dl
= 5*10-3 m Dr =
0,005*103 kg/m3
Dh
= 0,2*10-3 m Df =
0,1 Hz = s-1
DE = 0,5*1010 Pa
Û
Materialet är mässing, l = 0,85, h = 5*10-3 m, E = 10,5*1010 Pa, f = 7,7 Hz och densiteten r = 8,4*103 kg/m3.
Cmax = hmax/(l2min*fmin)*Ö(Emax/rmin) = 5,2*10-3/(0,8452*7,6)*Ö(11*1010/8,395*103) = 3,47
Cmin = hmin/(l2max*fmax)*Ö(Emin/rmax) = 4,8*10-3/(0,8552*7,8)*Ö(10*1010/8,405*103) = 2,90
Vi kan säga att: C = 3,2 ± 0,3. För extra kontroll och för
att få en bättre översikt om vilka mätningar man måste förbättra så gör vi en logaritmisk derivering.
DC = C((Dh/h)+(Df/f)+(2Dl/l)+(0,5DE/E)+(0,5Dr/r))
Numeriskt:
DC = ± 3,26*((0,2*10-3/5*10-3)+(0,1/7,7)+(2*5*10-3/0,85)+(0,5*1010/10,5*1010)+(0,5*0,005*103/8,4*103))
DC = ± 3,26*(0,040+0,013+0,012+0,024+0,0003)
DC = ±3,26*0,0089 = ± 0,290
\ C = 3,2 ± 0,3
För att förbättra noggranheten hos konstanten C måste mätfelen minskas. Detta gäller framförallt mätningar av tjockleken och frekvensen. Densiteten r och elasticitetsmodeulen E är hämtade ur tabell (Physics Handbook for Science and Engineering av Carl Nordling och Jonny Österman).
1.2.5 Verifiering av
uttrycket
För att verifiera vårat uttryck så gör vi flera mätningar
och jämför dessa med beräknade värden:
Mätning 1)
Materialet är mässing, h = 5*10-3 m, E = 10,5*1010
Pa och r
= 8,4*103 kg/m3
8)
Visar uppmätta och beräknade värden på periodtiden T
från mätning 1)
De beräknade värdena stämmer bra överens med uppmätta. Vi gör en mätning till för extra uppskattning om hur bra uttrycket stämmer:
Mätning 2)
Materialet den här gången är aluminium, h = 3*10-3 m, E = 6,9*1010 Pa och r = 2,70*103 kg/m3.
9) Visar uppmätta och beräknade värden på periodtiden T från mätning 2)
Vi kan dra slutsatsen att uttrycket stämmer bra överens med uppmätta värden.
1.3 Periodtiden med en extra massa m
Vi ändrar nu på problemet lite. Vi har förut härlett ett
uttryck för periodtiden T hos en svängande balk
enbart med balkens egenmassa. Men vad händer om vi nu placerar en extra massa
på balken lm meter från balkfästet. Det verkar rimligt att anta att
den “nya” periodtiden vi får med en massa placerad på
balken. Är ett nytt uttryck + det ursprunliga
uttrycket vi härlett sedan tidigare. Dvs.:
T = ( (3,2 ± 0,3)*(l2/h)* Ö(r/E)) + f(m.lm,E,h)
Där m = massan som vi placerar lm meter från balkfästet på balken. Vi gör som vi gjorde i 1.2.2 och undersöker om tjockleken har någon betydelse:
Materialet är koppar, l = 0,75 m = konstant, m = 306,3 g = 0,3063 kg och lm = 0,4 m.
10)
Visar periodtiden för den svängande balken med och
utan massa med olika tjocklekar.
Vi får att: T2-T2utan > T1-T1utan Þ Tjockleken har betydelse. Vi försöker med ett uttryck för periodtiden med en extra massa m.
Där C = 3,2 ± 0,3 och A = en ny konstant.
Vi undersöker lm och håller de andra variablerna konstanta. Materialet är mässing, h = 0,003 m, E = 10,5*1010 och massan m = 0,3063 kg.
11)
Visar hur periodtiden T varierar
med olika
värden på lm
Om vi tittar på uttrycket ovan ser vi att:
Dvs. att periodtiden (Tm - Tu)*lm är konstant (Vi undersökte ju lm när vi höll de andra variablerna konstanta).
Numeriskt blir detta:
Tu = 0,167 s. De andra värdena för Tm står i tabell 11).
(T0,2 – Tu)*lm = 0,004*0,2 = 0,0008
(T0,3 – Tu)*lm = 0,015*0,3 = 0,0045
(T0,4 – Tu)*lm = 0,037*0,4 = 0,0148
Vi ser här att (Tm – Tu)*lm inte är konstant. Slutsatsen blir alltså att vårat antagande från början inte stämmer. På grund av tidsbrist hann vi inte göra flera experiment. För att sedan komma fram till ett slutligt uttryck för periodtiden T hos en svängande balk med en extra massa.
Sammanfattning:
Vi har kommit fram till uttrycket ovan, för periodtiden T hos en svängande balk. Tyvärr pga. tidsbrist hann vi inte komma fram till ett uttryck för periodtiden T hos en svängande balk med en extra massa m.